98 Bài tập trắc nghiệm Ứng dụng tích phân cơ bản – Tác giả Nguyễn Bảo Vương

Ebook 98 Bài tập trắc nghiệm Ứng dụng tích phân cơ bản – Tác giả Nguyễn Bảo Vương gồm nội dụng sau đây:

Ví dụ 1: Cho hàm số  \( y={{x}^{4}}-(m+1){{x}^{2}}+m  \) có đồ thị  \( ({{C}_{m}}) \). Xác định  \( m>1 \) để đồ thị  \( ({{C}_{m}}) \) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi  \( ({{C}_{m}}) \) và trục Ox có diện tích phần phía trên trục Ox bằng diện tích phần phía dưới trục OX.

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 diêm phân biệt  \( \Leftrightarrow {{x}^{4}}-(m+1){{x}^{2}}+m=0 \)   (1) 4 nghiệm phân biệt  \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-(m+1)t+m=0 \)    (2) có 2 nghiệm dương phân biệt  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta ={{(m+1)}^{2}}-4m>0 \\  & m+1>0 \\  & m>0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow 0<m\ne 1 \)

Với  \( 0<m\ne 1 \) thì phương trình (2) có 2 nghiệm là t = 1, t =m vì m < 1 nên 4 nghiệm phân biệt của (1) theo thứ tự tăng là:  \( -\sqrt{m},-1,1,\sqrt{m} \)

Theo bài toán, ta có: \({{S}_{{{H}_{1}}}}={{S}_{{{H}_{2}}}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{4}}-(m+1){{x}^{2}}+m \right|dx}=\int\limits_{1}^{\sqrt{m}}{\left| {{x}^{4}}-(m+1){{x}^{2}}+m \right|dx}\)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left[ {{x}^{4}}-(m+1){{x}^{2}}+m \right]dx}=\int\limits_{1}^{\sqrt{m}}{\left[ {{x}^{4}}-(m+1){{x}^{2}}+m \right]dx}\)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{\sqrt{m}}{\left[ {{x}^{4}}-(m+1){{x}^{2}}+m \right]dx}=0\)\(\Leftrightarrow \left. \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-(m+1)\frac{{{x}^{3}}}{3}+mx \right) \right|_{0}^{\sqrt{m}}=0\)

 \( \Leftrightarrow \frac{m}{5}-\frac{m+1}{3}+1=0\Leftrightarrow m=5 \)

Vậy m = 5 thỏa bài toán.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị tham số  \( m\in \mathbb{R} \) sao cho: \(y={{x}^{4}}-({{m}^{2}}+2){{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1\), có đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi (C_m) với trục hoành phía trên Ox có diện tích bằng  \( \frac{96}{15} \).

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow {{x}^{4}}-({{m}^{2}}+2){{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1=0 \) hay  \( ({{x}^{2}}-1)({{x}^{2}}-{{m}^{2}}-1)=0\) có 4 nghiệm phân biệt, tức  \( m\ne 0 \)

Với  \( m\ne 0 \) thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt  \( \pm 1;\pm \sqrt{{{m}^{2}}+1} \)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C_m) với trục hoành phần phái trên trục hoành là:

 \( S=2\int\limits_{0}^{1}{\left[ {{x}^{4}}-({{m}^{2}}+2){{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1 \right]dx}=\frac{96}{15} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{20{{m}^{2}}+16}{15}=\frac{96}{15}\Leftrightarrow m=\pm 2 \)

Vậy,  \( m=\pm 2 \) thỏa bài toán.