Công thức tích phân và tính chất của tích phân

Đội ngũ gia sư dạy kèm môn Toán 12 tổng hợp “Công thức tích phân và tính chất của tích phân” cho các em học sinh lớp 12 dễ tra cứu và học tập tốt Toán 12

+ Định nghĩa: Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn  \( \left[ a;b \right] \) thì

 \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\left. F(x) \right|_{a}^{b}=F(b)-F(a) \).

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b được kí hiệu là  \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) hay  \( \int\limits_{a}^{b}{f(t)dt} \). Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số hay  \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f(t)dt} \).

+ Tính chất của tích phân:

Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K, a, b, c là ba số thuộc K. Khi đó ta có:

(1)  \( \int\limits_{a}^{a}{f(x)dx}=0 \).

(2)  \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=-\int\limits_{b}^{a}{f(x)dx} \).

(3)  \( \int\limits_{a}^{b}{\left[ f(x)\pm g(x) \right]dx}=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\pm \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \)

(4)  \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f(x)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f(x)dx} \)

(5)  \( \int\limits_{a}^{b}{k\cdot f(x)dx}=k\cdot \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \)

(6) Nếu  \( f(x)\ge 0,\,\,\forall x\in \left[ a;b \right] \) thì  \( \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\ge 0,\,\,\forall x\in \left[ a;b \right] \).

(7)  \( \forall x\in \left[ a;b \right]:\,\,f(x)\le g(x)\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\le \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \).

(8)  \( \forall x\in \left[ a;b \right] \), nếu  \( M\ge f(x)\ge N\Rightarrow M(b-a)\le \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\le N(b-a) \)