Công thức Phương trình lượng giác cơ bản

Đội ngũ Gia sư dạy kèm Toán 11 xin tổng hợp Công thức Phương trình lượng giác cơ bản để các em học sinh có thể dễ dàng tra cứu công thức và cách giải phương trình lượng giác cơ bản. 

1. Giải phương trình \( \sin u=a \)

 \( \oplus  \) Trường hợp  \( \left| a \right|>1\xrightarrow{{}} \)Phương trình vô nghiệm, vì  \( -1\le \sin u\le 1 \).

 \( \oplus \)  Trường hợp  \( \left| a \right|\le 1\xrightarrow{{}} \)Phương trình có nghiệm, cụ thể:

+  \( a\in \left\{ 0;\pm \frac{1}{2};\pm \frac{\sqrt{2}}{2};\pm \frac{\sqrt{3}}{2};\pm 1 \right\} \), khi đó:

\(\bullet \,\,\sin u=a=\sin v\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& u=v+k2\pi  \\  & u=\pi -v+k2\pi  \\\end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\) (Nếu tính theo radian).

 \( \bullet \,\,\sin u=a=\sin v\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & u=v+k360{}^\circ  \\  & u=\pi -v+k360{}^\circ  \\ \end{align} \right.,\,\,k\in \mathbb{Z} \) (Nếu tính theo độ).

+ \( a\notin \left\{ 0;\pm \frac{1}{2};\pm \frac{\sqrt{2}}{2};\pm \frac{\sqrt{3}}{2};\pm 1 \right\} \), khi đó: \(\bullet \,\,\sin u=a\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & u=\arcsin a+k2\pi  \\  & u=\pi -\arcsin a+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\)(Nếu tính theo radian).

\(\bullet \,\,\sin u=a\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & u=\arcsin a+k360{}^\circ  \\  & u=\pi -\arcsin a+k360{}^\circ  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\)(Nếu tính theo độ).

 \( \oplus \)  Chú ý: Một số công thức sau để đổi về dạng  \( \sin u=\sin v \).

+  \( \sin u=-\cos v\Leftrightarrow \sin u=\sin \left( v-\frac{\pi }{2} \right) \).

+  \( \sin u=\cos v\Leftrightarrow \sin u=\sin \left( \frac{\pi }{2}-v \right) \).

+  \( \sin u=-\sin v\Leftrightarrow \sin u=\sin \left( -v \right) \).

 \( \oplus \)  Các trường hợp đặc biệt:

+  \( \sin u=0\Leftrightarrow u=k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)

+  \( \sin u=1\Leftrightarrow u=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ \(  \sin u=-1\Leftrightarrow u=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+  \( \sin u=\pm 1\Leftrightarrow \cos u=0 \).

2. Giải phương trình \( \cos x=a \)

 \( \oplus  \) Trường hợp  \( \left| a \right|>1\xrightarrow{{}} \)Phương trình vô nghiệm, vì  \( -1\le \cos u\le 1 \).

 \( \oplus \)  Trường hợp  \( \left| a \right|\le 1\xrightarrow{{}} \)Phương trình có nghiệm, cụ thể:

+  \( a\in \left\{ 0;\pm \frac{1}{2};\pm \frac{\sqrt{2}}{2};\pm \frac{\sqrt{3}}{2};\pm 1 \right\} \), khi đó:

\(\bullet \,\,\cos u=a=\cos v\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & u=v+k2\pi  \\  & u=-v+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\) (Nếu tính theo radian).

 \( \bullet \,\,\cos u=a=\cos v\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & u=v+k360{}^\circ  \\  & u=-v+k360{}^\circ  \\ \end{align} \right.,\,\,k\in \mathbb{Z} \) (Nếu tính theo độ).

+  \( a\notin \left\{ 0;\pm \frac{1}{2};\pm \frac{\sqrt{2}}{2};\pm \frac{\sqrt{3}}{2};\pm 1 \right\} \), khi đó: \(\bullet \,\,\cos u=a\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & u=\arccos a+k2\pi  \\  & u=-\arccos a+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\) (Nếu tính theo radian).

\(\bullet \,\,\cos u=a\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & u=\arccos a+k360{}^\circ  \\  & u=-\arccos a+k360{}^\circ  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\)(Nếu tính theo độ).

 \( \oplus \)  Chú ý: Một số công thức sau để đổi về dạng  \( \cos u=\cos v \).

+  \( \cos u=-\cos v\Leftrightarrow \cos u=\cos \left( \pi -v \right) \).

+  \( \cos u=\sin v\Leftrightarrow \cos u=\cos \left( \frac{\pi }{2}-v \right) \).

+  \( \cos u=-\sin v\Leftrightarrow \cos u=\cos \left( \frac{\pi }{2}+v \right) \).

 \( \oplus \)  Các trường hợp đặc biệt:

+  \( \cos u=0\Leftrightarrow u=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)

+  \( \cos u=1\Leftrightarrow u=k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

 \( + \cos u=-1\Leftrightarrow u=\pi +k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+  \( \cos u=\pm 1\Leftrightarrow \sin u=0 \).

3. Giải phương trình \( \tan x=a;\,\,\cot x=a \)

 \( \oplus  \) Phương trình  \( \tan u=a \).

Điều kiện:  \( u\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}\text{ }(do\text{ }\cos u\ne 0) \).

+ \( a\in \left\{ 0;\pm \frac{\sqrt{3}}{3};\pm 1;\pm \sqrt{3} \right\} \), khi đó: \(\bullet \,\,\tan u=a=\tan v\Leftrightarrow u=v+k\pi ,\text{ }(k\in \mathbb{Z})\) (Nếu tính theo radian).

\(\bullet \,\,\tan u=a=\tan v\Leftrightarrow u=v+k180{}^\circ ,\text{ }(k\in \mathbb{Z})\) (Nếu tính theo độ).

+  \( a\notin \left\{ 0;\pm \frac{\sqrt{3}}{3};\pm 1;\pm \sqrt{3} \right\} \), khi đó:

\(\bullet \,\,\tan u=a\Leftrightarrow u=\arctan a+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}\) (Nếu tính theo radian).

\(\bullet \,\,\tan u=a\Leftrightarrow u=\arctan a+k180{}^\circ ,\text{ }k\in \mathbb{Z}\) (Nếu tính theo độ).

 \( \oplus  \) Phương trình  \( \cot u=a \).

Điều kiện:  \( u\ne k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}\text{ }(do\text{ }\sin u\ne 0) \).

+  \( a\in \left\{ 0;\pm \frac{\sqrt{3}}{3};\pm 1;\pm \sqrt{3} \right\} \), khi đó: \(\bullet \,\,\cot u=a=\cot v\Leftrightarrow u=v+k\pi ,\text{ }(k\in \mathbb{Z})\) (Nếu tính theo radian).

\(\bullet \,\,\cot u=a=\cot v\Leftrightarrow u=v+k180{}^\circ ,\text{ }(k\in \mathbb{Z})\) (Nếu tính theo độ).

+  \( a\notin \left\{ 0;\pm \frac{\sqrt{3}}{3};\pm 1;\pm \sqrt{3} \right\} \), khi đó:

\(\bullet \,\,\cot u=a\Leftrightarrow u=arc cot a+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}\) (Nếu tính theo radian).

\(\bullet \,\,\cot u=a\Leftrightarrow u=arc cot a+k180{}^\circ ,\text{ }k\in \mathbb{Z}\) (Nếu tính theo độ).

 \( \oplus \)  Chú ý 1: Một số công thức sau để đổi về dạng \tan u=\tan v.

+  \( \tan u=-\tan v\Leftrightarrow \tan u=\tan \left( -v \right) \).

+  \( \tan u=\cot v\Leftrightarrow \tan u=\tan \left( \frac{\pi }{2}-v \right) \).

+  \( \tan u=-\cot v\Leftrightarrow \tan u=\tan \left( \frac{\pi }{2}+v \right) \).

 \( \oplus  \) Chú ý 2: Một số công thức sau để đổi về dạng  \( \cot u=\cot v \).

+  \( \cot u=-\cot v\Leftrightarrow \cot u=\cot \left( -v \right) \).

+  \( \cot u=\tan v\Leftrightarrow \cot u=\cot \left( \frac{\pi }{2}-v \right) \).

+  \( \cot u=-\cot v\Leftrightarrow \cot u=\cot \left( \frac{\pi }{2}+v \right) \).