Tích phân – Phần 1 – Tác giả Nguyễn Bảo Vương

Ebook Tích Phân – Phần 1 – Tác giả: Nguyễn Bảo Vương gồm nội dụng sau đây:

Dạng 1. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích

Phương pháp:

Để tính tích phân  \( I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \) ta phân tích  \( f(x)={{k}_{1}}{{f}_{1}}(x)+…+{{k}_{m}}{{f}_{m}}(x) \).

Trong đó các hàm  \( {{f}_{i}}(x) \)  \( (i=1,2,3,…,n) \) có trong bảng nguyên hàm.

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

a) \( I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1}}dx} \)

b) \( J=\int\limits_{2}^{7}{\frac{x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}dx} \)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \( x=(3x+1)-(2x+1) \) \( =\left( \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+1} \right)\left( \sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1} \right) \)

Nên:  \( I=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+1} \right)dx} \) \( =\left. \left[ \frac{2}{9}\sqrt{{{(3x+1)}^{3}}}-\frac{1}{3}\sqrt{{{(2x+1)}^{3}}} \right] \right|_{0}^{1}=\frac{17-9\sqrt{3}}{9} \)

b) Ta có: \( x=\frac{1}{4}\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{x-2} \right)\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2} \right) \)

Nên:  \( J=\frac{1}{4}\int\limits_{2}^{7}{\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2} \right)dx}=\frac{19-5\sqrt{5}}{6} \)

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a) \( I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.\sin 3xdx} \)

b) \( J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{4}}xdx} \)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \( I=\frac{1}{2}\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{(\cos x-\cos 5x)dx} \) \( =\left. \frac{1}{2}(\sin x-\frac{1}{5}\sin 5x) \right|_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{4}{5} \)

b) Ta có: \( {{\cos }^{4}}2x=\frac{1}{2}(1+2\cos 4x+{{\cos }^{2}}4x) \) \( =\frac{1}{4}(3+4\cos 4x+\cos 8x) \)

Nên  \( I=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{(3+4\cos 4x+\cos 8x)dx} \)  \( =\left. \frac{1}{4}\left( 3x+\sin 4x+\frac{1}{8}\sin 8x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{3\pi }{16} \)